Antonio Acosta Oliver nació en Almería en 1857. Era hijo de José María Acosta Bejarano e Isabel Oliver y Cueto. Los Acosta forman parte de las familias almerienses de fortuna y tradición en la vida política y social de la provincia de Almería. Su padre aparece  a comienzos del reinado de Alfonso XII como un gran contribuyente de Almería y Níjar y además era propietario de una fábrica de plomo denominada Las Palmeras. 

El legado familiar procedía también de su madre que era propietaria de las Salinas de Cabo de Gata. Isabel Oliver y Cueto compró la propiedad salinera a una sociedad francesa con sede en París quien a pesar de realizar mejoras en las infraestructuras tuvo grandes pérdidas. A la muerte de su madre Antonio Acosta junto sus hermanos Mª de la Concepción, María de Gracia y José María fundaron en 1904 la sociedad anónima “Salinas de Almería” conocida como "Salinera de Acosta", que integraba las de Cabo de Gata y las de Cerrillos en Roquetas de Mar. La Gerencia de la empresa la desempeñó una de las hermanas, Mª de la Concepción. 

El patrimonio familiar se completaba con fincas urbanas en la capital y con fincas rústicas procedentes de tierras desamortizadas en el término municipal de Níjar, entre ellas se encontraba la finca del cortijo El Hornillo o también denominado Los Frailes. 

Contrajo matrimonio con Dalila Garzolini y tuvo tres hijos, Dalila, María y Antonio. Su hija María Acosta Garzolini se casó en 1918 con Adelchi Garzolini Schner. Su otra hija Dalila se casó con el político y diputado conservador Lorenzo Gallardo. Eran familias que perpetuaban sus lazos endogámicos mediante los enlaces matrimoniales.

Su patrimonio estuvo muy diversificado, Antonio Acosta poseía también propiedades mineras. Tenía una mina de oro en Rodalquilar en el término de Níjar. Desde abril de 1923 tuvo registrada la mina “Santa Isabel” de 60 hectáreas. En septiembre de 1936 otra mina denominada “Aún Estoy” aparece registrada a nombre de su heredero Antonio Acosta Garzolini, también propietario de otra mina “Santa Adelaida” en el registro de 1937.  Fue propietario naviero, con motivo de la campaña militar en el norte de África en 1909 puso a disposición del Gobierno de la Nación el vapor “El Siglo”, dos gabarras de 100 toneladas cada una y una de 250.

La actividad política de Antonio Acosta se inició en la política municipal de Almería. En la corporación de 1890 fue nombrado regidor del Ayuntamiento de Almería. Estuvo afiliado al Partido Conservador y en la primera década de siglo acaudilla una importante facción conservadora “los acostistas”, que representaban el ala derecha del partido. El grupo conservador de Antonio Acosta Oliver lo formaban destacados políticos locales como los ex alcaldes de la  ciudad,  Agustín de Burgos Cañizares o Eduardo Pérez Ibáñez.

Elecciones y actividad parlamentaria

Fue elegido por primera vez diputado a Cortes por la circunscripción de Almería en la legislatura de 1907-1908. En las elecciones de 1907 celebradas bajo el gobierno conservador Maura hubo muchas dificultades para confeccionar el encasillado. Los conservadores almerienses estaban divididos en dos grupos, el que acaudillaba Antonio Acosta y un segundo encabezado por José Bellver y Ulpiano García Blanes. La indisciplina del segundo benefició a Antonio Acosta Oliver. Antonio Maura prestó apoyó su candidatura, a cambio del apoyo de su grupo al candidato conservador adicto, el cunero Antonio Navarro y Ramírez de Arellano, hijo del ex ministro Carlos Navarro y Rodrigo.

En estas elecciones generales de 1907 los liberales presentaron dos candidaturas enfrentadas, la de Luis Silvela Casado  y la de Leopoldo Cortina Porras. Los republicanos agrupados en la Unión Republicana presentaron a José Jesús García, diputado a Cortes en la anterior legislatura. El resultado electoral dio a Antonio Acosta el segundo lugar en la circunscripción. De un total de 30903 electores y 18179 votantes, obtuvo 12425 votos. El primer lugar fue para Antonio Navarro y Ramírez de Arellano y el tercer escaño fue para el liberal Luis Silvela Casado.

 La trayectoria de división de los conservadores hizo que Maura enviara a un político nacional Augusto González Besada a encabezar las listas de las elecciones generales siguientes de 1910. Antonio Acosta Oliver era un seguidor disciplinado de las directrices del jefe nacional Antonio Maura, fue uno de los firmantes de una carta de apoyo a Besada. En 1913 participó en la creación del Círculo de Acción Conservadora, y en la inauguración de su sede el 16 de marzo de ese año. 

Tras la escisión del partido conservador entre mauristas y seguidores de Dato, Antonio Acosta desaparece de la escena política almeriense de la Restauración, ante el predominio de la tendencia de Eduardo Dato y la relevancia de otra figura conservadora, Manuel Giménez Ramírez.